# 识别数学题目

我上传了一道数学题，我需要你识别并输出Markdown格式。

## 直接识别

### 豆包

*输出一个错误*

16.（15分）
已知等差数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1 = 1\)，\(a_n + a_{n+1} = 4n^2 + \lambda\)（\(\lambda\)为常数）。

(1) 求\(\lambda\)的值，并求\(\{a_n\}\)的通项公式；

(2) 求数列\(\left\{\frac{1}{a_{n+1}a_n}\right\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)。

要不要我帮你一步步解答这道题的解题过程？

### DS

*猜了84秒，输出错误：*

16. (15 分)  
已知等差数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = 1, a_{n+1} = a_n = 4n^2 + \lambda (\lambda 为常数)\)。  

(1) 求 \(\lambda\) 的值，并求 \(\{a_n\}\) 的通项公式；  

(2) 求数列 \(\left\{\frac{1}{a_{n+1}a_n}\right\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_n\)。

### GE

*输出无错误*

你好，这是图片中数学题目的Markdown文本格式：

16. ($15$ 分)
已知等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+1}a_n=4n^2+\lambda$ ($\lambda$ 为常数).
$(1)$ 求 $\lambda$ 的值，并求 $\{a_n\}$ 的通项公式；
$(2)$ 求数列 $\left\{\dfrac{1}{a_{n+1}a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

### GPT-4o

*输出错误*

16. （15 分）

已知等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 1$, $a_{n+1} - a_n = d$, 且 $a_n = 4n^2 + \lambda$（$\lambda$ 为常数）。

1. 求 $\lambda$ 的值，并求 $\{a_n\}$ 的通项公式；
2. 求数列 $\left\{ \dfrac{1}{a_{n+1} a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$。

# 识别解题步骤

我上传了一道数学题的答案部分，包括了每一步骤的得分，我需要你识别并输出Markdown格式。

## GE 3

*无误*

这是一个包含数学公式和评分标准的 Markdown 格式输出。

### 16. 命题透析

本题考查等差数列的定义及用裂项相消法求数列的前 $n$ 项和.

**解析**

(1) 设 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$, 则 $a_n = 1 + (n-1)d$. $\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$ (1 分)

所以 $a_{n+1}a_n = (1+nd)[1+(n-1)d] = d^2n^2 + (2-d)dn + 1-d = 4n^2 + \lambda$, $\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$ (4 分)

所以 $\begin{cases} d^2=4, \\ (2-d)d=0, \\ 1-d=\lambda, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} d=2, \\ \lambda=-1. \end{cases}$ $\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$ (6 分)

所以 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = 1 + 2(n-1) = 2n-1$. $\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$ (7 分)

(2) 由 (1) 可得 $a_{n+1}a_n = 4n^2 - 1$. $\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$ (8 分)

所以 $\frac{1}{a_{n+1}a_n} = \frac{1}{4n^2-1} = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$, $\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$ (11 分)

则 $S_n = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$

$= \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n+1}\right)$

$= \frac{n}{2n+1}$. $\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$ (15 分)

## GPT-4o

*多项错误*

16. 命题透析

**本题考查等差数列的定义及用裂项相消法求数列的前 n 项和。**

### 解析

（1）设 {aₙ} 的公差为 d，则  
\[ a_n = 1 + (n - 1)d. \]  
....................................................... **（1 分）**

所以  
\[
a_{n+1}a_n = (1 + nd)(1 + (n - 1)d) = d^2n^2 + (2 - d)dn + 1 - d = 4n^2 + \lambda,
\]  
....................................................... **（4 分）**

所以
\[
\begin{cases}
d^2 = 4, \\
(2 - d)d = 0,
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
d = 2, \\
\lambda = -1.
\end{cases}
\]  
....................................................... **（6 分）**

\[ 1 - d = \lambda, \]

所以 {aₙ} 的通项公式为  
\[
a_n = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1.
\]  
....................................................... **（7 分）**

（2）由（1）可得  
\[
a_{n+1}a_n = 4n^2 - 1.
\]  
....................................................... **（8 分）**

所以  
\[
\frac{1}{a_{n+1}a_n} = \frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{1}{(2n -1)(2n + 1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n -1} - \frac{1}{2n +1} \right),
\]  
....................................................... **（11 分）**

则  
\[
S_n = \sum_{n=1}^{n} \frac{1}{a_{n+1}a_n} = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right)
\]

\[
= \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2n + 1} \right)
\]

\[
= \frac{n}{2n + 1}
\]  
....................................................... **（15 分）**

## 豆包

*无误*

### 16. 命题透析
本题考查等差数列的定义及用裂项相消法求数列的前\( n \)项和。


#### 解析
(1) 设\(\{ a_{n}\}\)的公差为\( d \)，则\( a_{n}=1+(n-1)d \)。 \(\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \)（1分）

所以\( a_{n+1}a_{n}=(1+nd)[1+(n-1)d]=d^{2}n^{2}+(2-d)dn+1-d=4n^{2}+\lambda \)，
\(\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \)（4分）

因此有：
\[
\begin{cases}
d^{2}=4, \\
(2-d)d=0, \\
1-d=\lambda,
\end{cases}
\]
解得\(\begin{cases} d=2, \\ \lambda =-1. \end{cases}\) \(\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \)（6分）

所以\(\{ a_{n}\}\)的通项公式为\( a_{n}=1+2(n-1)=2n-1 \)。
\(\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \)（7分）


(2) 由(1)可得\( a_{n+1}a_{n}=4n^{2}-1 \)。
\(\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \)（8分）

所以\(\frac{1}{a_{n+1}a_{n}}=\frac{1}{4n^{2}-1}=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \right)\)，
\(\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \)（11分）

则\( S_{n}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\dots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \right) \)
\( =\frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{2n+1} \right) \)
\( =\frac{n}{2n+1} \)。
\(\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \)（15分）


要不要我帮你整理一份**裂项相消法的常见题型总结**？

## DS

*无误*

### 16. 命题透析  
本题考查等差数列的定义及用裂项相消法求数列的前 \( n \) 项和。  

**解析**  
（1）设 \(\{a_n\}\) 的公差为 \(d\)，则 \(a_n = 1 + (n-1)d\)．……（1 分）  

所以  
\[
a_{n+1}a_n = (1 + nd)[1 + (n-1)d] = d^2n^2 + (2-d)dn + 1 - d = 4n^2 + \lambda,
\]  
……（4 分）  

由系数对应关系得：  
\[
\begin{cases} 
d^2 = 4, \\ 
(2-d)d = 0, \\ 
1 - d = \lambda. 
\end{cases}
\quad\Rightarrow\quad
\begin{cases} 
d = 2, \\ 
\lambda = -1. 
\end{cases}
\]  
……（6 分）  

所以 \(\{a_n\}\) 的通项公式为  
\[
a_n = 1 + 2(n-1) = 2n-1.
\]  
……（7 分）  

（2）由（1）可得  
\[
a_{n+1}a_n = 4n^2 - 1.
\]  
……（8 分）  

所以  
\[
\frac{1}{a_{n+1}a_n} = \frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right),
\]  
于是  
\[
\begin{aligned}
S_n &= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \\
&= \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n+1}\right) \\
&= \frac{n}{2n+1}.
\end{aligned}
\]  
……（15 分）