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概率（Probability）的本质是什么？
曹天元
恭喜，当你思考起关于“概率”的问题，并发出疑惑时，你应该已经开始认识到，这绝不是一个简单的事情了。事实上，如果你展开探究的话，最终会发现这是一个深不见底的大坑。直到今天，科学家和哲学家们仍然在为这个问题苦苦思索。
什么是“概率”？如果你去问数学家的话，他们会抛出一连串晦涩的名词，诸如样本空间、σ函数、勒贝格积分或者概率测度之类，不过，我们在这里不需要深入细节，只需要知道这个东西在数学上有着完善的定义即可。
但问题是，数学上定义良好的东西，未必在现实里存在。比方说数学上可以定义一个完美的正圆，但它显然并不存在于物理世界。从历史上看，“概率”的概念起源于赌场里的经验，我们无法预测一颗骰子投掷的具体结果，但直觉告诉我们，可以把它分成6种“均等的可能性”。因此，不妨假设每种可能性的“概率”都是1/6。基于这种简单的理念，卡尔达诺、帕斯卡、费马、伯努利、棣莫弗等人前仆后继，为概率的数学理论打下了基础，最终由拉普拉斯集而大成，建立起了古典概率论的完整大厦。
然而，我们的核心问题仍然没有得到回答。所谓“均等的可能性”，究竟是真实存在的，还只是因为我们的能力不足，不得已而采取的一种假设呢？
有趣的是，在拉普拉斯看来，答案无疑是后者。拉普拉斯生活在18世纪，当时正是牛顿力学一统天下的时代，在牛顿的世界里，整个宇宙就像是环环相扣的精密时钟，每一个粒子都要严格地遵循物理定律运转，根本没有任何“随机”的空间。很明显，如果我们能知道每次扔骰子的全部信息，那么理论上，所有结果都是可以精确计算出来的，根本用不着什么“概率”。
因此，在他的巨著《概率论的哲学探究》一书中，拉普拉斯写下了一段名扬天下的话：
我们可以把宇宙现在的状态视为其过去的果以及未来的因。如果一位智者知道在某一时刻宇宙里所有的力，以及所有组成自然物体的位置。并且他也能对这些数据进行分析，那么，在整个宇宙里，从最大的物体到最小的粒子，它们的运动就都会包含在一条简单的公式之中。对于这位智者来说，没有任何事物是不确定的，未来会像过去一样，清晰地出现在他眼前。
这就是鼎鼎大名的拉普拉斯妖。它让整个概率论都笼罩在一种悲剧式的色彩当中：从出生的那一刻起，其嫡亲的创始人竟然就宣称“概率”其实只是一个虚拟的概念，不过是由于我们人类知识不足而导致的幻觉而已。而对于无所不知的“上帝”来说，物理世界是早就“决定好的”，根本不存在什么“概率”。
然而，概率论并没有因此而消沉，它很快就茁壮地成长起来，并迅速成为数学领域里一门最复杂和最有活力的学科。到了19世纪末，它“复仇”的时刻终于到来了，麦克斯韦、玻尔兹曼、吉布斯等人把“概率”重新引入了物理领域，并在其基础上创立了一门新的学科——热力学。人们突然发现，诸如气体的膨胀、温度的传导、能量和压力的分布，乃至化学反应的方向，这些再“客观”不过，再“物理”不过的现象，其实都可以从“概率”出发，严格地推导出来。由此总结出的热力学定律，尤其是第二定律，其威力一点也不逊色于牛顿力学，甚至很多人开始认为，其实热力学定律才是宇宙中最坚实，最不可违背的规律。著名科学家爱丁顿就说过：“如果你的理论违反了牛顿定律，那也许是牛顿错了，但如果你的理论违反了热力学第二定律，那不好意思，你没指望了，唯一的出路就是丢脸和下台。”
而进入20世纪20年代之后，新的物理学革命又开始爆发，给我们带来了量子理论。这一次，“概率”更是在物理学当中扮演起了核心角色，以玻尔的哥本哈根派为代表，整整一代物理学家都开始坚信，我们的世界就是建立在不确定，建立在概率的基础之上的。
有了物理学的背书之后，人们开始转而相信，“概率”其实是一种真实存在的东西，它是确定的，来源于自然界的内秉属性，不随人的意志而改变。为此，当现代统计学开始重建的时候，学者们开始努力地试图将概率定义成一种客观的事物，就像大小、重量、温度等物理量一样“天然存在”。于是，现代统计学的奠基者们——以高尔顿、皮尔逊、费雪、奈曼、冯·米赛斯等人为代表——建立起了所谓的频率学派，并影响了整个统计学的基本观点，直至今天。
简单而言，频率学派认为“概率”是一个客观上确定的值，是天然存在的。比方说如果你扔一枚硬币，那么正面朝上的“概率”一定是50%。但是怎么证明呢？统计学家说：你可以不停地扔，次数扔得越多，正面所占的比例就会越接近一半。最后，当你扔的次数趋向于无穷，正面的比例就会精确地收敛到50%，而这个“极限频率”就是硬币扔出正面的“概率”。
听上去似乎很容易理解，但如果稍微深入思考一下的话，你就会产生许多疑惑。首先，这似乎是一个耍无赖的定义，因为现实中当然不可能把任何事情重复“无限次”。我们可以想象，如果你真的扔了100次硬币，正面出现了48次，那正面的概率是48%吗？频率主义者会说：不是，因为你扔得还不够多。那好，我扔了1万次，正面比例是49.32%，仍然不是50%，但频率主义者永远会重复说：那是因为你扔得还不够多。显然，这就变成了一个完全无法证伪的问题。我们也可以反过来问：谁能证明扔到无穷次之后，正面出现的“频率”就一定是精确的50%，一点不多一点不少？如果我坚持说，正面的概率其实是49.9999%，一旦扔了“无穷次”硬币之后，你就会发现其“频率”无限趋向这个数字，请问你又如何证明我说的是错的？
其次，就算不考虑无穷的问题，如果我们仔细琢磨的话，会发现任何用“实验”来证明概率“客观存在”的尝试其实都是不靠谱的。无论是历史上著名的布丰投针实验，还是现代量子力学实验，本质上都在做某种循环论证，即我们必须先入为主，先验地假定某个“概率”存在，然后才能去“验证”它。比方说扔硬币，如果我扔了N次硬币，发现正面出现的频率不是一半，而是60%，你会怎么看？你肯定要说：不可能！一定是你扔的方式不对，你的手法不够“随机”。
那请问，什么才叫“随机”呢？如果你说，只有当硬币扔出的结果是一半对一半时，才叫做“随机”，显然，这就是之前说的循环论证，或者叫做“同义反复”（tautology）。本质上，你无非是在说：
为什么硬币正面的概率是50%？答：因为当我“随机”地扔硬币时，正面会以50%的频率出现。
那请问什么才叫“随机”地扔硬币？答：只有当正面出现的频率为50%时，这个实验才是“随机”的。
这是典型的“没有真正苏格兰人”谬误，即只要实验没有扔出50%的结果，你永远都可以声称它“不真正随机”。反过来，如果我扔一枚“不均匀”的硬币，结果正面占60%，你又会怎么想呢？你是否会很高兴地觉得，实验已经“证明”了这枚硬币有着60%的“正面概率”？但这一次，为什么你就不质疑我的手法可能“不随机”呢？想想看，如果硬币实际上的正面概率是70%，而我用某种偏差的手法扔出了60%，这是完全可能的。但你光凭实验结果，根本无法分辨我扔的到底是“随机”还是“不随机”。归根到底，你对于概率的认知并不是来源于实验，而是出自某种先验的信念。
第三，“无穷频率”的定义完全不适用于“单一事件”。比方说，如果我们问：明天下雨的概率是多少？应该怎么回答呢？是要假设在未来无穷个日子里，雨天在其中所占的相对频率吗？然而这显然不对，因为问的是“明天”下雨的概率，所以就算你知道后天、大后天是否下雨，这跟问题也没关系。按照严格的定义，你必须把“明天”重复无穷次，然后同时进行观察才行，但显然这没有任何的可操作性。
所以，频率学派不得不强调说：单一事件是没有概率的。如果你问：巴西队获得3026年世界杯的概率是多少？这是一个无意义的问题。一个特定的事件只能发生一次，巴西队到时候要么夺冠，要么不夺冠，你无法谈论此事发生的“概率”。
但是，如果我们真要“咬文嚼字”的话，任何事情其实都是“单一事件”。好比如果现在你拿起一枚硬币，问：“它投出正面的概率会是多少？”那你事实上是在问：“我在X年X月X日X点X时X分X秒，在特定的X地点，以特定的X方式，投掷一枚特定的硬币X，问：出现正面的概率是多少？”
显然，这也是一个“单一事件”，它如何能“重复”呢？按照频率学派的方法，假设把硬币每隔1秒投掷1次，重复无穷次，正面的比例就是此次投掷的“概率”，但是，为什么1秒或者N秒后投掷的硬币可以作为“此次”投掷的参考？ 难道它们不是两个“不同的事件”吗？事实上，我们可以刨根问底地质疑：为什么连续投掷N个硬币，这必须被看成“一件事情重复了N次”，而不是“N个不同的单一事件先后发生”？如何任何事情其实都“不可重复”的话，那么“频率”的定义自然也就无从谈起了。
最后，当我们考虑到连续和无穷的问题时，情况就变得更加复杂了。我们知道，古典概率论建立在有限的基础之上。它默认问题可以被分割成M种“等可能事件”，然后符合条件的有N种，那么N/M就是所谓的“概率”。但是，如果M和N都是无穷大呢？这时候，古典概率论就无能为力了。比方说，在线段[0,1]上随机取一个点，它小于0.5的概率是多少呢？直觉也许告诉我们应该是50%，但具体如何计算？难道我们能把一条线段上的点全部“数出来”，再去计算其中小于0.5的比例吗？
为了解决无穷带来的困难，20世纪初，在数学大师柯尔莫果洛夫等人的努力下，现代概率论终于建立起来了。如本文开头所说的，这是一个关于“测度”的理论，它在很大程度上可以处理和无穷相关的问题。然而，和康托尔当初带来的冲击一样，把无穷引入概率论也会带来不少“反直觉”的结论。
还是拿上面的例子，在线段[0,1]上随机取一个点，我们问：它“正好”等于0.5的概率是多少？回答是概率为0。请注意，是“严格等于0”，而不是“比0稍微大一点点”或者“无穷小”。你也许会觉得奇怪：这是否意味着取到0.5是不可能的？不，它是“可能”的，只不过概率正好为0而已。本质上，这跟“0.9循环是否等于1”其实是类似的问题，你需要从头理解实数和测度的基础概念，否则就总是会钻到牛角尖里。
但是，这有现实意义吗？或者说，这种奇怪的数学是否真的反应了现实世界的真实情况？我们可以想象一个粒子的波函数在[0,1]上均匀分布，那么，当“观测”它的时候，这个粒子会“正好”出现在0.5的位置上吗？如前所述，理论上，粒子出现在任何一个“精确”的位置，其概率都应该严格为0，这在现实中真的可能发生吗？还是说，其实在真实世界里，粒子并不会“绝对精确”，它的实际位置其实是一个微小的区间，从而使得其“概率”是一个虽小，但终究不为0的数字？
反过来，有些日常听起来“很合理”的问题，概率论却无法从数学上回答。比方说“从所有的自然数里随机取出一个，发现它是偶数的概率是多少？”你也许会直觉地认为答案应该是1/2，但其实这个问题本身存在前提错误，因为自然数和实数不一样（它是可数集），我们无法在它上面构造出一个合法的、均匀的概率空间。通俗地说，你无法做到将所有的自然数都取相同概率，然后全体加起来还能正好等于1。所以，从全体自然数里面“随机”地取一个数，这件事本身就是不可能的。
当然，我们也可以换一种问法，比如说：“在所有自然数里面，偶数所占的比例是多少”？为了绕开概率的定义困难，我们可以采用类似于频率学派的方式，就是把所有自然数一一列举出来，并观察偶数在其中的“相对频率”。最后，让列出的自然数数量趋向于无穷，就能得到偶数的“极限频率”是1/2。
但是，无穷数列有一种神奇的属性，就是你可以通过改变排列顺序来“稀释”某些元素的比例。比方说，我们可以把自然数先分成奇数和偶数，然后将两个数列重新组合起来，不过这次不是一个奇数跟一个偶数，而是两个奇数才跟一个偶数。具体来说，就是：
1，3，2，5，7，4，9，11，6……
这个数列同样可以表示全体自然数，只不过稍微改变了顺序而已。请注意，我们没有漏掉任何一个数字，每个偶数X都仍然在这个数列当中，无非现在是跟在奇数2X-1后面，而不是传统的X-1后面。但是，如果观察这个数列的前N项，偶数所占的“频率”就该是1/3，而不是1/2，哪怕让N趋向无穷也是如此。
换句话说，如果你想通过观察“频率”的方式来确定比例，那么，“偶数在自然数中所占的比例”是没有一个客观、标准答案的。它实际上取决于你如何排列这些数字，或者说，取决于你选择什么样的“测度”。通过不同的选择，你可以得出任何想要的答案。
有趣的是，这个问题在现实中也同样存在，一个典型的例子就是宇宙学里著名的“测度问题”。如果空间在永恒地发生暴胀，那么它会创造出无穷多个不同的宇宙，在这其中，有一部分适合诞生星系和生命，但无穷的一部分仍然是无穷。所以，如果我们想要计算生命诞生的“概率”，就不得不用无穷大去除无穷大，但这是没有意义的。实际上，你必须选择某种特定的测度，或者说，你必须人为地强行规定某种归一化的概率密度，才能“数出”有生命宇宙在全体可能宇宙中所占的比例，然而这个结果又能代表什么呢？它似乎根本不是宇宙本身的某种性质，而只能反映你“计算概率”的方式。只要换一种不同的测度，你就能得到不同的答案。
但讽刺的是，暴胀理论本身就是为了解决概率问题而诞生的。问题的起源，在于我们发现可观测宇宙接近于完全平坦，这很不“自然”。意思是说，理论上空间曲率可以是任何数，但它偏偏极其接近于0，如果你仅仅把这归结于“巧合”的话，那概率就太小了。所以暴胀理论的本意是想给出一种解释，证明在一个典型的观测者看来，暴胀结束后空间接近完全平直是一个“大概率事件”。然而，如果我们无法定义什么才是“客观概率”的话，那这个目的就会变成一场彻底的空谈。无怪乎有人会说，“测度问题”是如今宇宙学面临的最大危机。
总而言之，你想得越多，就越会发现：概率作为一种“客观的频率”，在很大程度上是无法自圆其说的。于是不知不觉间，拉普拉斯的鬼魂又再次降临，另一派学者又开始重新思考起“概率的本质”。从凯恩斯，到德·菲尼蒂，从H.杰弗里斯，到E.T.杰尼斯，一种被称为“贝叶斯观点”的思潮在悄悄崛起。本质上，这种观点认为：概率其实就是人的主观信念，是我们在信息有限的条件下对某个命题的综合判断，自然，它也会随着我们的认识变化而发生改变，不管怎么说，世界上压根就不存在“客观的”、“永恒不变的”概率。
这种想法最早可以追溯到牛顿时代的英国牧师贝叶斯，因此便以他而得名，不过，将其真正筑造成完整思想体系的，还是归功于伟大的拉普拉斯本人，大名鼎鼎的“贝叶斯公式”，实际上也是出自其手。总之，从血统来看，虽然该理论曾一度被主流学界排斥，甚至被称为“贝叶斯异端”（Bayesian Heresy），但论起“根正苗红”，其实它比任何对手都不遑多让。
关于贝叶斯学派的主要理念和思考方式，以前回答过一个问题，可以参考。当然篇幅所限，我在这里简化了贝叶斯理论的描述，实际上该理论分成许多不同的流派，各学者之间的观点也颇有不同，有些人会更倾向于“客观”甚至频率描述，想要更详细的了解，可以参考Weatherford所著Philosophical Foundations of Probability Theory。
还需要强调的是，贝叶斯学派虽然认为概率是“主观”的，但也并不是说可以随便异想天开，胡乱推测。具体而言，贝叶斯理论中的“主观部分”一般体现在先验概率和元模型的选择上，而之后，当你获得更多信息时，如何“合理”地调整信念，使得新的后验概率成为在新信息下的“最佳判断”，这仍然需要符合传统的概率论。因此，贝叶斯方法不但不“虚浮”，反而有着巨大的，可验证的实际应用。近年来机器学习和AI领域的巨大进步，在很大程度上就是依靠贝叶斯方法取得的。
当我们带着贝叶斯的眼光去看待“自然”的时候，一切都变得不一样了。正如当年休谟所质疑的那样，我们其实从来都无法确定有一种终极的“物理定律”存在。但是反过来，我们也并不是完全“一无所知”。拉普拉斯曾经做过一个著名断言：如果连续N天观测到太阳从东边升起，那么，能不能断言它明天还会继续升起呢？答案是不能，然而，我们可以合理预测它继续升起的“概率”。假定先验均匀分布的话，答案应该是(N+1)/(N+2)。换句话说，如果我们之前连续1万天观察到太阳升起，那么可以“合理预测”，它明天继续升起的“概率”是99.990002%。
在贝叶斯派看来，世界永远都是“不确定”的，我们不能100%保证任何事情，甚至也不能肯定一个事情的“概率”究竟是多少。但是，我们可以依赖从经验得到的证据，来随时调整对某个问题的“信心”。得到的证据越多，相应的信心也会越大。但无论如何，证据不可能达到100%的置信度，我们也永远没有办法彻底“证明”或者“证伪”任何东西。
因此，“概率”就是我们对世界最好的，也是唯一的描述方式，它本质上是基于当前所有证据进行的“最合情推理”。我不关心，也不必真的知道硬币或者量子是不是本质上“随机”的，如果它们之前表现得像随机，我就对实验结果安排一个随机的概率预测。反之，如果哪天它们突然变得“有规律”了，我也会因此而调整我的信念，相应更改预测的数值。拿牛顿的名言来说：“我不立任何假设”。事情有几分证据，我就给出几分的“概率”。至于它“本质上”是真是假，这是一个没有意义的问题。
不过很遗憾，贝叶斯学派也并不能一劳永逸地解决我们对于“概率”的终极疑问。如果概率只是人的主观信念，那建立在概率之上的物理学呢？一团气体的压力，一个封闭系统的熵，一次观测后的量子态“坍塌”，这些难道都不是客观存在，而是“主观”的吗？再说了，也许我们没法把硬币扔上无数次，也说不清楚究竟什么才叫“随机扔”，但如果走进一间陌生的赌场，真金白银地去和庄家赌大小，我恐怕还是宁愿先默认硬币是五五开，而不是凭“主观”认定正面只有10%。道理很简单，当我对某个硬币没有任何知识的时候，它的正面和反面是完全“对称”的，我没有任何理由去“偏向”某一面，因此，“一视同仁”就是我的“最佳策略”，这也被称为“无差别原则”。
但是，这种原则真的是最合理的吗？还是某种经不起检验的幻觉？如果现在老板告诉你：这个赌场里采用的实际上是某种不均匀的硬币，它某个面朝上的概率要大大高于另一个面。这时候你应该如何“调整”自己的信念呢？如果按照无差别原则，虽然你已经知道硬币不是五五开，但对方并没有具体说明哪一面更高，此时正面和反面对你而言，仍然是“对称”的，你仍然没有理由偏好任何一边。所以，你应该在明知硬币不对称的情况下，继续坚持五五开的信念吗？如果不是，又该如何选择呢？
其次，对于同一个事件，我们也仍然面临类似于“测度”的问题，即我们可以通过不同方式来为特定对象指定不同的“概率”。著名的贝特朗悖论告诉我们，很多时候光说“随机”是没有意义的，你必须从很多可能的方案中选择某一种特定的“随机”。同样，对于任何单独的事件，你空谈它“本身的概率”也是没有意义的，你必须先把这个事件指定到某个“参考类”下面，然后才能谈论其概率。从某种程度上讲，概率其实是“参考类”的属性，而不是某个单独事件的属性。
举个例子，张三是一位30岁的中国男性，住在北京，职业是老师。出于好奇，他想知道自己明年不幸身亡的“概率”究竟是多少。为此，他找来一张最新的生命统计表，表上显示就目前状况而言，所有31岁的中国男性每年会有0.1007%的人因各种原因身故。张三心想，自己明年也到31岁了，所以死亡的“概率”自然就是0.1007%。
但是等等，他很快发现，生命表上还有一栏“男女合计”的数字，也就是如果不分男女的话，那么所有“31岁的中国人”每年死亡率是0.0778%。张三有些疑惑，他心想，我明年当然也是“31岁的中国人”，那我的死亡概率到底是0.1007%还是0.0778%呢？
按这个思路推理下去，张三发现，其实他可以把自己指定到任何一种可能的“类别”下面。如果他认定自己是“31岁的中国人”，那死亡概率就是0.0778%，如果他认定自己是“31岁的中国男人”，那死亡概率就是0.1007%。同样，他还可以认定自己是“31岁的北京人”、“31岁的老师”，或者干脆把年龄去掉，认定自己是“北京老师”、“中国的男老师”……等等。对于任何一个类别，理论上都可以统计出其全体成员每年的死亡率，这些数字或许相差不大，但肯定也不会一模一样。但是，张三明明是同一个人，他到底应该采用哪个数字作为自己真正的“死亡概率”呢？
回答是：所有的数字都是对的，但它们并不针对张三这个“个人”而言，而是针对某个“参考类”而言的。作为一个“单独事件”，正如前文所述，张三本人的“死亡概率”是没有意义的，因为你无法把他明年的经历“重复实验”无数次。但是，你可以把张三“主观指定”到某一个“类别”下面，或者是“男人”，或者是“中国人”，等等。对于一个类别而言，其全体下属成员就有了统计意义，可以谈论“概率”了。因此，当张三作为“31岁中国人”中的一员时，他的死亡概率就是0.0778%，而当他作为“北京男老师”的一员时，死亡概率也许就是0.0932%，等等。这些数字并不彼此矛盾，它们只是反应了张三在不同“分类”下的不同“属性”。
有意思的是，这种“分类”可以变得十分任意，比方说，你甚至可以把张三指定为“哺乳动物”中的一员，或者“多细胞生物”中的一员，甚至是“碳基生命”中的一员。这时候算出来的“死亡概率”可能就会非常夸张。绝大多数的碳基生物应该都是微生物之类，很可能根本活不到一年，因此，如果非要把张三算作“碳基生命”的话，那他明年的“死亡概率”可能高达99%以上！
你也许要质疑：这样的分类是否真的有意义？但也有学者坚持认为，所谓“概率”本身就是由我们主观视角而指定的，不存在一个“合理”的标准。关键在于，就跟相对论下我们不能脱离参考系而谈论“绝对时间”一样，我们也不能脱离参考类而谈论“绝对概率”。一个事件本身并没有概率，概率取决于你如何对它进行“分类”！
在物理学里，我们通常把某个参考类称为“系综”。因此，在量子力学里，有一种“系综解释”，这种解释认为：空谈某一个粒子的“随机性”是没有意义的，有意义的只有整个“系综”的统计属性。因此，我们只能说，如果我们准备一个实验，让N个粒子通过非均匀磁场（斯特恩-格拉赫实验），那么，在这个特定实验的“系综”里，有一半粒子会偏向上面，另一半会偏向下面。以50%的概率向上，这是N个参与实验的“全体粒子”的属性。
但是，我们不能脱离实验设置，把其中的某个粒子单独拿出来，去空谈它的“随机性”。因为在系综解释看来，所谓“概率”，是“参与特定实验的全体粒子”的性质，而不是某个粒子单独的性质。当然，这只是量子论五花八门的解释之一，不过如果你接受这一点，就再一次证明“概率”并不是某种客观的属性，而是由主观指定的。
最后，如果概率真的是一种主观认定的话，那么“主观者自身”会对概率评估产生怎样的影响呢？事实证明，这个问题竟然是最富争议，也是概率哲学里最深的大坑之一，由此引申出了无数“悖论”和“怪谈”，至今仍在科学界和哲学界辩论不休。
典型的例子是所谓的“自我采样假设”，它的意思是说，当我们判断某件事情的概率时，应该假设自己只是在所有可能的观察者中，随机采样出来的一个。好比所有人去买彩票，其中只有1%的人中奖，那你去买的时候，中奖的概率当然就是1%，你必须假定自己只是“所有人”中普通的一个，而不能毫无理由地幻想自己是“天选之子”。
这听上去似乎理所当然。但在某些情况下，无条件应用该原则似乎就会导致一些奇怪的结论。比方说，如果有两个可能的宇宙，A宇宙有1亿人，B宇宙有99亿人，那么你认为自己“更可能”生存在哪个宇宙？
如果你坚持认为自己只是这100亿人中间“随机”抽取出来的一个，那你应该回答：我有99%的概率生活在B宇宙，而只有1%的概率生活在A宇宙。但照此推论的话，你会发现宇宙里的人“越多越好”。如果我们相信在永恒暴胀中，所有的宇宙都是“可能”的话，那你应该100%地坚信，自己其实生活在一个无穷多人的宇宙里。
换句话说，我可以不需要任何实际的观测证据，光凭“概率推理”就能知道自己宇宙的某些特征，这是可能的吗？
1983年，宇宙学家布兰登·卡特根据“自我采样假设”，提出了著名的“末日论证”，引起了无穷的争论。卡特的想法很简单：假设“我”是在“所有人类”这个集合当中被“随机抽取”出来的话，那么通过我在集合中的“序号”，就能对“人类总数”做出一个概率判断。
打个比方，一个盒子里有若干小球，总数未知，但每个小球都按照顺序编号。现在我们随机抽取一个球，发现是10号，那我们完全可以通过这个信息，来“倒推”球的总数有多少。计算也很简单：如果小球总数是N个，在[0, N]区间进行随机采样，得到结果x，那x应该有5%的概率落在[0, N/20]区间，95%的概率落在[N/20, N]区间。换句话说，x<N/20的概率为5%，x>N/20的概率则为95%。现在已知x=10，不等式两边再各乘20，就得到：N>200的概率为5%，N<200的概率则为95%。
也就是说，随机抽出一个小球，发现是10号，我们可以从中得出结论：盒子里的小球总数N有95%的概率不超过200个。
类似的抽样估计在历史上曾经有过很实际的应用，著名的“德国坦克问题”就是典型的例子。二战期间，通过对缴获坦克零件上的序号分析，盟军对德国坦克的总产量做出了非常准确的估计。因此可以说，这种方法是完全有效的。
同样，我们可以假设人类从诞生到最终灭亡，总共会产生N个人，N当然是未知的。但是，如果“我”是一个典型的观察者，是从“所有人类”当中“随机抽取”出来的，那就和抽小球是一个道理。假设我发现自己是人类中的第x号，就可以得出结论：人类总数N<20x的概率为95%。
卡特和后来的一些学者估计，作为一个现代人，你大约是有史以来的第600亿号。因此可以预言：人类总数有95%的概率不超过1.2万亿，50%的概率不超过1200亿。
“末日论证”自发表以来，引起了广泛的争论，也产生了众多变体，至今仍未达成共识。有人会说，如果我们真的认为自己应该是“所有观察者”中的随机一员，那这些“观察者”不仅仅应该只包括人类，或许还有外星智慧生命等等。甚至我们可能会啼笑皆非地推论出，自己其实有极大的概率不是“真实人类”，而应该是玻尔兹曼大脑涨落出的幻觉或者虚拟世界当中的信息。
但不管怎样，采样假设毕竟提出了一个有趣的问题：通过观察有限的样本，是否能够从中得到关于其“概率空间”的某些信息？比方说我们的宇宙年龄大约是138亿年，这也是我们能观察的唯一样本。但如果真的有N种“可能的平行宇宙”，其年龄分布是否应该在大致同等的数量级上？不然的话，如果绝大多数宇宙都有几亿亿亿亿亿年的寿命，那我们的宇宙年龄就会“不合情理”地短，换句话说，我们的宇宙将以很大的标准差远离“宇宙全集”的均值，变成一个“极其小概率的事件”。这就需要额外的理论来“解释”，而不能视为理所当然。
同样，物理学中的各种无量纲常数，比方说原子光谱中的“精细结构常数”α，它的倒数等于137.03599084……但这个数字究竟是怎么来的？历史上，不知有多少物理学家曾经想尽办法，试图通过某种基本原理将其推导出来，但都无功而返。今天，大多数人不得不承认，这个数字其实“没有原因”，它可能就是纯属偶然。
但“偶然”究竟是什么意思？是说α的值其实有一个概率分布，而我们宇宙的α是按照某个特定的测度“坍缩”出来的吗？然而，这种逃避并不能解决问题，我们仍然需要解释为什么这个概率分布正好在137附近。当然，你也可以假设它其实不在，甚至可以取任意大的值，但这就又绕回来了，那样的话，我们宇宙的α又会变成一个“小概率事件”，还是需要解释。
对此，一个有趣的回答是所谓的“人择原理”，即我们的存在本身限制了某些变量的取值。在所有可能的宇宙里，也许绝大部分都不适合生命诞生，但这些宇宙根本不会被观察到。反过来，所有能被观察到的宇宙，自然首先必须得保证生命存在。因此，任何有意义的概率其实都是“条件概率”，前提是你必须先有个观察者！
不过，人择原理是否能够解释所有的“精细调节疑难”？这仍是一个问题。毕竟我们对“宇宙观察者”有哪些几乎一无所知，只能以我们熟悉的生命形式去推测它们生存的环境。但或许，真的有某些奇特的智慧生命，他们能在看似不可能的物理常数组合下生存，谁又能知道呢？根本问题仍在于，当我们“自我采样”的时候，真的应该把这些“可能存在”的观察者考虑进来吗？这样的“概率”真的合理，甚至有意义吗？
（关于人择原理，末日论证，自我采样假设等问题，有兴趣的同学可以参考阅读Nick Bostrom的著作Anthropic Bias。）
除了自我采样之外，一个更令人困惑的问题是“自我定位”。想象以下的实验：某疯狂科学家告诉你，他不久后会将你催眠，然后扔一枚公平的硬币。如果扔出正面，他就会把你送到“蓝岛”上，关进一间房子里，其他什么也不做。反之，如果扔出反面，他就会把你送到“红岛”上，在那里，他会先将你克隆出一个“复制品”，然后把你们俩关进两间不同的房子。注意，这个复制品同样有思想有记忆，跟你本人一模一样，他完全无法意识到自己其实是复制的。
第二天，催眠效果过去，现在你苏醒了。疯狂科学家发问：你觉得我昨天扔硬币，是扔出了正面还是反面？两者的概率分别是多少？
关于这个问题，有人会做如下推理：醒来时，我可能是蓝岛上的那个我，也可能是红岛上的我，还可能是红岛上的“复制品”。但因为完全无法分辨，我只能认为这三种情况都是“同样可能”的。所以，总共3种可能性，其中1种是在蓝岛上，而2种是在红岛上。以此反推，我只能认为科学家昨天抛出正面的概率是1/3，反面则是2/3。
也有人强烈反对：既然已经告诉你硬币是“公平”的，那抛出正面的概率自然是1/2。如果在实验开始的时候就问你，你肯定也会这样说。问题是，之后从被催眠到醒来，这过程当中你也没有得到任何新的信息啊。你从一开始就知道不管结果如何，肯定是会苏醒的。那么，为什么苏醒之后，你就会突然改变看法呢？不管怎样，硬币正面的概率应该维持1/2不变。
这个问题的原型其实就是著名的“睡美人悖论”，我在这里只是稍微改动了一下，以便更好地突出重点。围绕这个悖论，过去几十年间已经产生了难以计数的文章和争论，基本上1/3派和1/2派至今仍然各执一词。这个问题的奇特之处在于，在一堆可能的“我”中间，“主观视角”不知道究竟应该如何给自己“定位”，是这种不确定性影响了对概率的判断吗？更重要的是，如果确实如此，我们是否可以进一步大胆推测：其实“自我定位”问题，就是宇宙里所有“概率”的根本起源？
为了让事情更加清楚，在以上的思想实验中，我们其实完全可以取消“扔硬币”那一环。这一次，科学家直接将你催眠，然后克隆出2个复制品，连你本人一共3个。接下来，他把你放到蓝岛，2个复制品放到红岛。那么，第二天当“你”醒来时，你会认为自己是在蓝岛还是红岛？
现在，没有了扔硬币环节，两派的争论基础本来已经消失了，但是，此时在“你”看来，概率却仍然存在。因为你无法分辨自己“究竟是哪一个”，所以你仍然不得不认为，自己在蓝岛的概率为1/3，在红岛的概率为2/3。但是请注意，这只是从你的“主观视角”来看的，而在疯狂科学家的眼里，整个实验却是完全确定的，每一步都按照计划进行，压根就没有任何“概率”存在。所以，概率究竟来自哪里？很明显，是因为你无法在所有可能的复制品当中准确地“自我定位”。你丧失了一部分关于“自我”的信息。
近年来，越来越多的科学家开始认为，量子论的“概率”本质，很可能也是出自相同的原因。量子论本身，即薛定谔方程其实是完全“确定”的，和牛顿理论并没有任何本质不同。奇怪的是所谓的“坍缩”假设，即每次观察，量子态都会按照波恩法则，以确定的概率坍缩到某一个本征态上。这个过程其实跟量子论本身是矛盾的，完全是为了解释观测结果而生硬地附加到理论之上。
一种想法是，我们应该彻底否定任何“坍缩”的存在，坚持整个宇宙始终严格按照量子论进行幺正演化，这其实就是埃弗莱特的“多世界”理论。宇宙的波函数可以被分解为无数个不同“世界”的叠加，每个世界都是希尔伯特空间中的一个投影，而我们的各种“分身”则存在于不同的世界当中。随着波函数的演化过程，绝大多数世界都彼此退相干了，只有在极小的尺度上仍然产生明显的量子干涉和叠加。这样，从“上帝”的视角来看，整个宇宙仍然是确定的，完全可预测的。
那么，“概率”又是从哪里来的呢？只能从我们的主观视角产生。从客观上来看，“我们”其实是所有世界中的总体叠加，但在“主观”上，我们却只能认知到其中的某一个世界。问题是，任何一个“主观的我”都无法准确地进行自我定位，不知道自己位于哪一个具体的“世界”，于是，就跟前面例子里的克隆人一样，在“我”的眼里，概率出现了。比方说，在世界A当中，“1号我”看到薛定谔的猫死去，而在世界B当中，“2号我”则看到薛定谔的猫活着。薛定谔的猫其实没有概率，它只是严格按照量子论方程演化而已，概率在于“我”不知道自己究竟是1号还是2号。这是我的问题，而不是猫的问题。
所以你发现，多世界中的“概率”，本质上其实就是量子版的睡美人问题。很多科学家都在尝试，是否能从自我定位的假设出发，不附加任何条件，自动推导出量子论的玻恩法则，乃至所有的概率论原则。这样的话，我们就可以彻底抛弃“波函数坍缩”的假设了。然而，因为睡美人悖论本身仍然争论激烈，究竟如何“合理”地判定主观概率仍然是一个悬而未决的问题。如果概率是可以主观随意指定的，那何以玻恩法则却是一个客观的规律？在这个问题上，也许争论还会长期继续下去。
（对这个问题感兴趣的同学，可以进一步参考Charles Sebens和Sean Carroll的文章：Self-Locating Uncertainty and the Origin of Probability in Everettian Quantum Mechanics）
好了，在回顾了那么多关于“概率”的论述和争议之后，我们对这个概念的理解变得更清晰了吗？遗憾的是，似乎并没有，反而愈加扑朔迷离了。概率是否真实存在？它是主观还是客观的？它究竟如何产生和变化？它的赋值存在唯一的合理方式，还是可以任意指定？世间万物都有“概率”吗？还是说，只能对于某些特殊的事件谈论概率？所有这些问题，我们似乎都还没有完全弄清楚，在可见的未来，各种激烈的争论还会继续。
然而，几百年来，我们早已在数学中定义了概率，我们早已在物理中引进了概率，我们已经不知有多少次把它应用到实践当中，并发现它能够令人惊讶地预测未来。如果概率其实并不存在，为什么它会有用呢？这是一个值得思考的问题。就像诺贝尔物理学奖得主维格纳所说，数学在自然科学当中发挥出了不可思议的有效性，而我们却不知道这是为什么。也许，这个谜团本身就是自然界最大的魅力所在。