knowledge-vault/work/client-projects/高新教育/文枢/数学/试题16/识别数学题及评分细则测试.md

识别数学题目

我上传了一道数学题，我需要你识别并输出Markdown格式。

直接识别

豆包

输出一个错误

16.（15分） 已知等差数列({a_n})满足(a_1 = 1)，(a_n + a_{n+1} = 4n^2 + \lambda)（(\lambda)为常数）。

(1) 求(\lambda)的值，并求({a_n})的通项公式；

(2) 求数列(\left{\frac{1}{a_{n+1}a_n}\right})的前(n)项和(S_n)。

要不要我帮你一步步解答这道题的解题过程？

DS

猜了84秒，输出错误：

16. (15 分)
    已知等差数列 \{a_n\} 满足 (a_1 = 1, a_{n+1} = a_n = 4n^2 + \lambda (\lambda 为常数))。

(1) 求 \lambda 的值，并求 \{a_n\} 的通项公式；

(2) 求数列 \left\{\frac{1}{a_{n+1}a_n}\right\} 的前 n 项和 (S_n)。

GE

输出无错误

你好，这是图片中数学题目的Markdown文本格式：

16. (15 分) 已知等差数列 \{a_n\} 满足 a_1=1, a_{n+1}a_n=4n^2+\lambda (\lambda 为常数). (1) 求 \lambda 的值，并求 \{a_n\} 的通项公式； (2) 求数列 \left\{\dfrac{1}{a_{n+1}a_n}\right\} 的前 n 项和 S_n.

GPT-4o

输出错误

16. （15 分）

已知等差数列 \{a_n\} 满足 a_1 = 1, a_{n+1} - a_n = d, 且 $a_n = 4n^2 + \lambda$（\lambda 为常数）。

1. 求 \lambda 的值，并求 \{a_n\} 的通项公式；
2. 求数列 \left\{ \dfrac{1}{a_{n+1} a_n} \right\} 的前 n 项和 $S_n$。

识别解题步骤

我上传了一道数学题的答案部分，包括了每一步骤的得分，我需要你识别并输出Markdown格式。

GE 3

无误

这是一个包含数学公式和评分标准的 Markdown 格式输出。

16. 命题透析

本题考查等差数列的定义及用裂项相消法求数列的前 n 项和.

解析

(1) 设 \{a_n\} 的公差为 d, 则 a_n = 1 + (n-1)d. \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots (1 分)

所以 a_{n+1}a_n = (1+nd)[1+(n-1)d] = d^2n^2 + (2-d)dn + 1-d = 4n^2 + \lambda, \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots (4 分)

所以 \begin{cases} d^2=4, \\ (2-d)d=0, \\ 1-d=\lambda, \end{cases} 解得 \begin{cases} d=2, \\ \lambda=-1. \end{cases} \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots (6 分)

所以 \{a_n\} 的通项公式为 a_n = 1 + 2(n-1) = 2n-1. \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots (7 分)

(2) 由 (1) 可得 a_{n+1}a_n = 4n^2 - 1. \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots (8 分)

所以 \frac{1}{a_{n+1}a_n} = \frac{1}{4n^2-1} = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right), \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots (11 分)

则 S_n = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)

= \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n+1}\right)

= \frac{n}{2n+1}. \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots (15 分)

GPT-4o

多项错误

16. 命题透析

本题考查等差数列的定义及用裂项相消法求数列的前 n 项和。

解析

（1）设 {aₙ} 的公差为 d，则

 a_n = 1 + (n - 1)d. 

....................................................... （1 分）

所以

a_{n+1}a_n = (1 + nd)(1 + (n - 1)d) = d^2n^2 + (2 - d)dn + 1 - d = 4n^2 + \lambda,

....................................................... （4 分）

所以

\begin{cases}
d^2 = 4, \\
(2 - d)d = 0,
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
d = 2, \\
\lambda = -1.
\end{cases}

....................................................... （6 分）

 1 - d = \lambda, 

所以 {aₙ} 的通项公式为

a_n = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1.

....................................................... （7 分）

（2）由（1）可得

a_{n+1}a_n = 4n^2 - 1.

....................................................... （8 分）

所以

\frac{1}{a_{n+1}a_n} = \frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{1}{(2n -1)(2n + 1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n -1} - \frac{1}{2n +1} \right),

....................................................... （11 分）

则

S_n = \sum_{n=1}^{n} \frac{1}{a_{n+1}a_n} = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right)

= \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2n + 1} \right)

= \frac{n}{2n + 1}

....................................................... （15 分）

豆包

无误

16. 命题透析

本题考查等差数列的定义及用裂项相消法求数列的前( n )项和。

解析

(1) 设({ a_{n}})的公差为( d )，则( a_{n}=1+(n-1)d )。 (\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots )（1分）

所以( a_{n+1}a_{n}=(1+nd)[1+(n-1)d]=d^{2}n^{2}+(2-d)dn+1-d=4n^{2}+\lambda )， (\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots )（4分）

因此有：

\begin{cases}
d^{2}=4, \\
(2-d)d=0, \\
1-d=\lambda,
\end{cases}

解得\begin{cases} d=2, \\ \lambda =-1. \end{cases} (\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots )（6分）

所以({ a_{n}})的通项公式为( a_{n}=1+2(n-1)=2n-1 )。 (\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots )（7分）

(2) 由(1)可得( a_{n+1}a_{n}=4n^{2}-1 )。 (\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots )（8分）

所以(\frac{1}{a_{n+1}a_{n}}=\frac{1}{4n^{2}-1}=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \right))， (\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots )（11分）

则( S_{n}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\dots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \right) ) ( =\frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{2n+1} \right) ) ( =\frac{n}{2n+1} )。 (\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots )（15分）

要不要我帮你整理一份裂项相消法的常见题型总结？

DS

无误

16. 命题透析

本题考查等差数列的定义及用裂项相消法求数列的前 n 项和。

解析
（1）设 \{a_n\} 的公差为 (d)，则 (a_n = 1 + (n-1)d)．……（1 分）

所以

a_{n+1}a_n = (1 + nd)[1 + (n-1)d] = d^2n^2 + (2-d)dn + 1 - d = 4n^2 + \lambda,

……（4 分）

由系数对应关系得：

\begin{cases} 
d^2 = 4, \\ 
(2-d)d = 0, \\ 
1 - d = \lambda. 
\end{cases}
\quad\Rightarrow\quad
\begin{cases} 
d = 2, \\ 
\lambda = -1. 
\end{cases}

……（6 分）

所以 \{a_n\} 的通项公式为

a_n = 1 + 2(n-1) = 2n-1.

……（7 分）

（2）由（1）可得

a_{n+1}a_n = 4n^2 - 1.

……（8 分）

所以

\frac{1}{a_{n+1}a_n} = \frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right),

于是

\begin{aligned}
S_n &= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \\
&= \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n+1}\right) \\
&= \frac{n}{2n+1}.
\end{aligned}

……（15 分）