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课堂录音文字稿

2024级数学组-段春梅-椭圆及其标准方程_原文
2025年11月25日 07:59
发言人   00:03
同学们好，请坐。咱们今天来讲一下椭圆及其标准方程。在讲这个课题之前，咱们把前面学的圆的基本知识来进行复习一下巩固。我首先这样叫两个学生把圆的标准方程和一般方程写一下，其他学生在练习本上来写，那我就叫这两个学生来，你们俩上来，在黑板上写一下圆的标准方程和圆的一般方程，其他人在练习本上写。圆的，写下圆的。

发言人   00:52
我们说了圆里面最重要的要素是圆心和什么？和半径，是不是？

发言人   01:11
一定要记住，圆的一般方程它有条件没有？条件是什么？E方加E方减4还有于0。那么标准方程里面我们要知道它的圆心和R这个圆心和R是啥？是谁的一般方程，咱们要写圆的，然后你写成直线的，是不是，咱们写圆的。

发言人   01:47
其他学生写完了没有？好，非常好啊。

发言人   01:58
半径是什么？R方？好，非常好。我们来看一下咱们学生写的，这是原来的什么标准方程，X减A的方加上Y减B的方等于R的平方，那么一般方程是X平方加Y平方加DX加EY加F是不是等于0？那么我们要让它满足是圆的方程的话，必须满足什么条件？D方加E方减4F，这个对了没有？这个错了，这个错了，一定要记住，咱们当时是不是配方以后才形成的对吧？

发言人   02:29
那我们看一下这个学生X减A的方加Y减B的平方等于R的平方对吧？那么圆心是AB半径是R对吧？那么一般方程是X平方加Y平方加DX加EY加F等于0，D方加E方减4F是不是大于0？好，非常好啊。

发言人   02:45
我们在学了圆以后，在实际生活中我们会经常看到这样一个图形。比如说像我们的一个镜子，是不是像我们这个球，然后投影过后这个图形，还有我们常见的猕猴桃，甚至像这些一些古典的一些钟表，那它是什么的样子？它就是我们的椭圆，跟我们学习圆一样，我们今天也学一下圆，那么它的标准方程是什么样子的，好吧？在我们的新课程开始之前大家看一下一个小视频，让大家先整体认识一下我们的椭圆。

发言人   03:20
阿圆我们已经很熟悉圆了，它有一个圆心，所以点到圆心的距离不相等。但是如果我轻轻按压这个圆，它会变成什么样呢？为了好小智被你压扁的这个图形就是我们今天的主角椭圆。椭圆有两个特殊的定点，我们叫它们焦点椭圆，就是所有的这两个焦点距离之和为定。知道我明白了，用绳子和两个图钉就能直观的画出椭圆，绳子长度不变，正好对应的那个常数。没错，你真聪明，这个方法完美的诠释椭圆的。现在我们来认识椭圆的骨骼，最长的这条直径叫长轴，最短的这条叫短轴，它们相互垂直平分，交点永远在长轴上。

发言人   04:02
为什么火云有胖有瘦呢？秘密就在于明星绿叶他等于谁出演音乐。接近椭圆就越像圆，一越接近一椭圆就越扁。原来椭圆无处不在，行星的轨道就是椭圆。对，还有台球在中间的反弹，一些建筑的设计，甚至我们眼睛的轮廓都藏着椭圆的影子。

发言人   04:24
我们给椭圆一个标准数学身份证，它的标准方程当焦点在轴上时，方程是方分之几加平方分之Y等于这里的A和B就是我们之前认识的长半轴，太棒了。今天我们认识椭圆，知道了它的定义、画法、性质和应用。是的，记住椭圆就是当两个定点距离之和为常数的点的轨迹。数学就是这么奇妙。

发言人   04:48
大家通过刚才的小视频发没发现椭圆有个什么特征呢？有什么特征明显，我们发现我们可以回顾一下圆，是不是我们在学圆的过程中，我们说了在平面内我如果把圆心看成一个近点的话，是不是那么到这个近点距离相等的点的一个轨迹，那么是不是就是圆，对不对？是一个圆，我们这是我们以前学过的圆。

发言人   05:13
那么我们根据这个知识再拓展一下。我们发现根据刚才的小视频，我们发现在椭圆里面有几个近点两个境界是不是？同样我发现在平面内有一个点，这个点干啥比较特殊，怎么了？它到这两个近点的距离之和是个什么数？是个常数。

发言人   05:32
那么这样的点是不是只有一个呢？不是，它有很多。比如我在这一点，同样发现这个点到这个和这个的距离，和刚才那个值是一样的。那么这样的碱它多不多？它非常多，就跟我们圆的定义一样。这些点它就构成了一个集合，形成了一个轨迹。同样在平面内具有这样共同特征的，这些简的轨迹，就是我们今天学的什么？

发言人   06:00
觉得一个椭圆，这就是我们刚才通过视频以后我们总结出来的。我们为了更详细的了解一下，我们这块有一个视频。我们是通过谁啊一根细绳和一支铅笔就得出了一个椭圆。大家可以仔细看一下这个过程，认真看在这个过程中你发现了什么。比如他说了给你一颗细绳和一支铅笔，我问一下细绳的长度它变没变不变？对，细绳的长度是不变的。

发言人   06:30
那么接着我们看一下，这两个近点，我们假设是F1和F2，那么它俩之间的距离和细绳的长度之有什么样的一个大小关系？F1F22F1F2的距离和这个P到F1和F2距离之和之间有个什么样的大小关系是不是PF1的长度加PF2的长度是大于F1到F2的距离的，是不是，大家能理解不，来可以，大家可以看一下，我刚才是不是在这做了两个境界，对吧？那么在椭圆里面我们把这两个境界称为谁啊？称为F1和F2，称为交点。那么我们看啊在这上面找出一个点的话，我把这两个减一点，再把F1和F21点，那么你看这是不是一个三角形根据我们以前学过的知识，三角形的两边之和一定是大于第三边的。所以PF1的长，PF1加PF2的长度是不是就大于F1F2的长度，对不对？也就是我刚刚给你在这个图示里面说的，这个细绳的长度是不是一定大于F1F2的长度，对不对？

发言人   07:40
通过刚才的一个视频展示，我们就得出了椭圆的一个概念。同样的概念是什么呢？在平面内内与两个近点F1F2的距离和等于常数的检测轨迹叫做什么？叫做椭圆。

发言人   07:57
我们在这个概念里面特别要注意以下几点点。哪几个呢？一个是胶柬，我们说的胶柬就是我们说的这两个荆芥，我们称为F1F2。我们把F1F2的距离称为谁？称为焦距。它的长度我们一般情况下设为谁？

发言人   08:15
设为2C听懂了吧？在我们的做题过程中我们说了，平面内与两个近点的距离之和是个常数，那么我们把这个常数同样设为一个已知的数，设为2A那么就是PF1的长度加上PF2的长度等于几？等于2A，这是我们注意的。2A一定要大于2C而且它有个前提条件，依旧在什么里面？要在平面内，在平面内大家要记住这个前提条件。好OK这是我们注意的这些知识点。好，我刚刚有学生就问我了，老师你刚刚说了，这两个的之和大于这个边的时候，它就形成了一个椭圆。

发言人   09:04
那如果不大于？比如第一个如果等于等于的话是什么样一个情况呢？那么你看等于的话，你看这个减P的这个平面内，它有可能存在以这个为分界线，它有可能存在这个上面，也可能存在这个下面，也有可能存在左边，是不是也可能存在右侧，那么上下我们是不是已经出现决定了，对不对？

发言人   09:25
那么如果在这个线上假设这个P12，那么这时候你发现FP1的值加FP2的值结果是个啥？F1是不是F2，对吗？同样我如果在这，假如一个P3点，那么同样F1P3和F2P3的结果同样是个谁？F1F2也就是说当这个P点在这个直线上的时候，那么这时候它的长度等于谁？直接是不是就等于2C？是不是2A等于2C也就是说当这个两个点的之和等于2C的时候，那么这个点的轨迹是个啥？是不是不是一个啥线线段，哪条线段？F1和F2这条线段对吧？

发言人   10:04
那如果小于的话能形成图形不？我看我们刚刚是不是分析过，在这上面，在这下面是不是就形成一个椭圆了。当然在这一块是不是也能形成椭圆，对不对？那么在这上面的话就形成线段了，除过这些未知数就没有了，在平，因此它是形成不了图形的。

发言人   10:21
好，非常好啊，这就是我们对椭圆的一个概念的一个学习。我让学生简简单单的把这个题做一下，好吧？来你上来，再给大家说一下。第一个，到F1的距离之和为四的减的M的一个轨迹是什么？为四的和为四轨迹是什么？F1加F2的和是多少？F1F2的距离是2，好，没问题。

发言人   10:54
那么减M到这两个的距离之和是谁啊？是4 4比2怎么了？所以它的轨迹是啥？轨迹是个椭圆没问题吧？好，非常好。

发言人   11:05
来这个G2学生，我问一下，到F1F2的距离之和为二的减M的轨迹是个什么？好，非常好，对吧？我们刚刚说了没有，OK来第三个学生来说一下到F1F2的距离之和为一的简单M的轨迹是什么？不存在对着没有。

发言人   11:24
好，非常好啊，那么这就说了我们刚才说的几种情况，三种情况三种情况。第一种是个什么椭圆椭圆。第二种是个什么线段？F1是不是F2，第三种存在不不存在不存在。大家把这种情况存在就一定要记清楚。那么我们把椭圆的概念是不是已经搞清楚了，对吧？而且它的定义里面2A和2C的关系式，其他情况是不是也分析完了？

发言人   11:51
椭圆我们跟圆一样，圆有它的标准方程。那么椭圆有没有它的标准方程呢？有啊，那是有的。那么我们像研究员一样，是不是要把它放在直角坐标系里面研究因此我们把椭圆放在直角坐标系里面研究。既然要放在直角坐标系里面研究的话，那我们是不是得知道椭圆放在直角坐标系的什么位置运算起来更简便，运算起来更简便什么轴上X轴和Y轴上好非常好。

发言人   12:20
那么我问一下椭圆的中心应该放在哪？是不是放在什么上？放在原件上，是不是放在原件上？那我们是不是就把它做出来了，对不对？这是X和Y对不对？

发言人   12:34
我们前面在学圆的时候，是不是学过圆的轨迹方程？那么我们同样能根据前面学过的圆的轨迹方程，是不是能写出椭圆的轨迹方程？那么我们根据我们前面学过的解干啥？是不是设轨迹上有一点，我假设是什么简T减它的坐标是什么XY那么第一步是设计，第二步是找什么关系等量关系。那么等量关系就是TF1的距离加PF2的距离等于2A是不是这样的？那么PF1我们是通过什么来做什么来做两点间的距离公式来做，两点距离公式来做的话，P点我是不是设出来了？

发言人   13:16
那我问一下F1点的坐标是什么？你想想我们刚刚说过的F1F2，我们是焦距总长度是谁？二C那么这个中心是不是它分成了几半两半，因此F1的坐标是什么？

发言人   13:32
负C0，F2的坐标是C0，那么做会做了那么我们根据这个式子是不是很容易就得出来了，那我们看一下它整体的一个推导过程。我们干啥就根据它是不是了解的距离公式，是不是一推。把这个移项进行什么平方，是不是去根号对吧？那么我们把它移项去平方去根号以后，最终就化成了一个什么形式？A方分之X方加A方减C方分之Y方等于一的形式。这就是我们今天学的椭圆的什么标准方程。

发言人   14:09
但是这个方程里面我们看这个分母是不是只有一项？这个分母是个什么多项式？那么我们为了统一一下，我们就设A方减C方等于什么？等于B方。因此我们椭圆的方程就为什么A方分之X方加上2，B方分之Y方等于1，明白了没有？

发言人   14:29
那么这就是我们今天学过的椭圆方程，椭圆方程A方分之X方加B方分之Y方等于1。那么在这个椭圆方程里面我问一下，这个B方是怎么来的？A方减C方是不是得出来的？而且我们说过了2A是大于2C的，因此A方减C方的值是大于零还是小于0？大于0，因此这里面这个B方它一定是个大于0，那么B也是个什么值？大于零的值。那我问一下A和B谁大A？那么同样是不是A大于B，没有问题吧？

发言人   15:08
啊，这个大家一定要清楚。有学生又问老师你刚刚在间隙的时候把这个椭圆干啥放着了，横着放了我如果竖着放的时候，它这个标准方程一样不，它就不一样了。同样我们可以根据刚才的方法，根据它竖着放的时候，能写出它的一个标准方程。这个方程的过程，大家下去以后自己做好吧？

发言人   15:30
那我们可以给大家展示一下，在Y轴上的时候，它的标准方程式，A方分之Y方加B方分之X方等于1。前提条件都是A大于B大于0。来那么这个是什么轴上的？X轴这是什么轴Y轴上的，那我问一下他俩的差别是什么？差别是什么？差别是什么？我发现这个AB是不是跟的位置不一样？在X轴上A是X下面，那么B在Y下面。但是在Y轴上的话，A在谁下面Y下面？B在谁下面？X下面是不是？

发言人   16:11
因此我们就发现一个规律，那么当焦点在哪个轴上的时候，A就在谁的下方，是不是这样？你看这个在X轴上交点是不是在X轴上，A是不是在X的下面？那么在Y轴上的话，A是不是在Y的下面。所以我们就说它是什么？A就在Y的下面，听懂了没有？

发言人   16:31
OK，那么我们再把这个标准方程看一下，这个标准方程是个等式，右边是几？是个一。左边是关于X平方下的，一个是关于Y平方下的，它的系数是不是都作为分母，是不是存在了？很好啊，那么AB我们而且我们还知道ABC的一个关系式。如果知道AB的话是不是把C能求出来？同样知道C的话，知道BC的话是不是就把A能求出来？之二是不是就求一了？很好啊。

发言人   16:58
为了大家更好的了解椭圆的一个标准方程，我们看一下这个图表。它的交点在X轴上的话，它的图像是这样的。那么它的方程是不是是这两种类型的？当它在X轴上的话交点坐标是这样，那么在Y轴上的话交点坐标是这样子。看清楚了没有？不管是哪一种形式，那么永远是B方，是不是等于A方减C方？我们记得一个口诀，焦点位置是啥？谁大在谁家，对不对？

发言人   17:25
就是这样的，很好啊，那么我们做一个题好吧，来接着让学生来你做。A等于五非常好，BCC等于3，焦距焦距是谁？2C所以2C等于几？六好，非常好。

发言人   17:43
来你第二个，若椭圆上一点到任意点到交点的距离是六则减C到另外一个交点的距离为多少？灬对着没有对着了。我们说的这是啥定义？椭圆上任何1点到2个交的距离之和等于多少？2A这一个是六的话，我们刚刚说了A是几52A是几十，那么10减6就等于几4，很好啊。

发言人   18:09
第三个来回答，C为椭圆上任意点，则三角形CF1F2的周长为多少？16怎么来的？我假设这个C点F1F2的周长，周长是不是三个编织和？那么我们知道F1F2的距离是谁？RC那么这个CF1加CF2等于多少？2A因此它的周长是2A加2C那么这个三角形我们称为什么三角形？焦点三角形过焦点的三角形我们称为焦点三角形。记住了没有？

发言人   18:44
非常好啊，好OK。那么下面这个若CD为过焦点F1的弦，则三角形F2CD的周长为多少？F2这是CD是不是我现在是求的这个三角形的一个周长，对吧？那么三角形周长我分成几部分，两部分，这一部分是不是它的周长就是CF1加CF2，这部分是DF1加DF2。那么这两个和等于多少？2A这两个也是2A合在一起多少？4A那么得出来了没有？

发言人   19:16
好，非常好啊，那我们合一下答案。好，请坐。对着没有咱们学生答的好，非常好啊。咱们今天就简简单单的讲了一个什么？椭圆的一个概念和它的一个标准方程。大家一定要知道，它的定义那么重要，概念和公式里面ABC的一个关系，尤其是椭圆的两个标准方程。

发言人   19:38
好，今天咱们的课程就到此结束了。作业把课文课后的练习题一做好吧？好，下课。好，同学们再见。

教学设计说明

参见上传的PDF

要求

请对这节课做出评分。

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参赛作品评分报告

概览

（此部分留空，将来人类专家修改）

Agent评分

• 总分: 61分
• 等级评定: B (60-70)
• 核心短评: 本作品是一节典型的 “AIGC辅助内容生产” 型数学课。教师展现了极高的技术敏锐度，利用DeepSeek和即梦AI生成了定制化的教学视频，有效突破了传统课件制作的瓶颈，这在AI技术与创新维度主要体现为“备课端的创新”。然而，在课堂实施环节，学生仍处于“观看视频”的被动接受状态，缺乏基于数据的实时反馈或人机深度协同，属于“AI 1.0”时代的各种媒体演示，尚未达到“AI赋能个性化学习”的高度。

维度详情

1. AI技术与创新 (13/30)

• 1.1 痛点解决与融合 (6/15)
  • 得分依据:
    • [痛点] 椭圆定义的“动态生成”过程抽象，传统教具（绳子）演示虽直观但不够清晰，且无法展示宏观应用。
    • [解决] 引用PDF“AI 制作过程”及文字稿 03:20：“在我们的新课程开始之前大家看一下一个小视频...小智被你压扁的这个图形就是我们今天的主角椭圆”。教师利用AI生成的视频可视化了$PF_1+PF_2=2a$的定义。
  • 失分原因/点评:
    • 虽然使用了AI生成的素材，但课堂应用形式仍为传统的**“视频播放”**（Passive Viewing）。AI并未在课堂上实时解决学生的个性化疑难，也未提供可交互的探究环境（如让学生拖动变量实时生成图形），技术应用的深度停留在“展示层”。
• 1.2 创新与数据赋能 (7/15)
  • 得分依据:
    • [创新] 引用PDF第8-10页：“共使用三个软件：Deep seek（脚本设计），即梦 AI（画面和小视频生成）...”。教师展示了完整的AIGC工作流，这是本课最大的亮点，体现了教师作为“AI内容创作者”的能力。
  • 失分原因/点评:
    • [数据缺失] 文字稿全篇未见任何数据采集或分析环节。例如 01:58 “我们来看一下咱们学生写的”，仍是传统的肉眼批改板书。缺乏基于大数据的学情分析或实时测评反馈，导致此项得分受限。

2. 教学交互与实效 (30/40)

• 2.1 目标达成与逻辑 (13/15)
  • 得分依据:
    • [逻辑清晰] 课程逻辑严密：复习圆（00:03） -> 引入椭圆视频（03:20） -> 归纳定义（07:40） -> 变式探究（09:04） -> 推导方程（13:32）。
    • [重难点突破] 通过视频和板演，清晰落实了$2a > 2c$这一关键条件（文字稿 10:21 “如果小于的话...形成不了图形”）。
  • 失分原因/点评: 目标达成度高，扣分点在于方程推导环节（13:32-14:29）主要由教师讲授思路，学生自主探究运算的过程在文字稿中体现不足。
• 2.2 互动氛围与参与 (9/15)
  • 得分依据:
    • [师生互动] 教师多次进行提问和纠错，如 10:54 “4比2怎么了？...所以它的轨迹是啥？”以及 00:03 邀请学生上台板演。
  • 失分原因/点评:
    • [互动模式单一] 文字稿显示互动主要为“教师提问-学生集体回答/个别回答-教师评价”的传统IRE模式。学生发言较简短（如“椭圆”、“不存在”），未见生生互动或利用AI工具进行的探究性互动。
• 2.3 课堂增效 (8/10)
  • 得分依据:
    • 视频（03:20）在2分钟内高效完成了情境引入和定义直观化，比传统口述或单纯画图更高效。
  • 失分原因/点评: 课堂节奏紧凑，无明显拖沓。

3. 科学性与设计 (18/20)

• 3.1 学科科学性 (10/10)
  • 得分依据:
    • [概念准确] 文字稿 07:40 明确强调“距离之和等于常数...2A一定要大于2C”。
    • [分类讨论] 文字稿 09:04-10:21 对“等于2c”（线段）和“小于2c”（无轨迹）的讨论非常科学严谨。
  • 失分原因/点评: 未发现科学性错误。
• 3.2 育人与推广性 (8/10)
  • 得分依据:
    • [AIGC工作流] PDF中详细记录的“DeepSeek+即梦AI”制作流程具有极高的推广价值，为一线教师制作校本化课程资源提供了极佳范例。
  • 失分原因/点评: 育人元素自然融入（行星轨道、建筑），但在推广性上，若能将“教师制作”转化为“学生利用AI创作”，推广价值将更高。

亮点与建议

• ✨ 亮点:
  1. 备课端的AI深度应用: 教师并未止步于下载现成资源，而是利用DeepSeek编写脚本、即梦AI生成视频，展示了“人机共创”的教学资源生产新范式。
  2. 教学基本功扎实: 对椭圆定义中$2a$与$2c$的数量关系挖掘深入，通过三种情况的变式教学（文字稿 10:54-11:24），有效扫清了学生的认知盲区。
• 💡 建议:
  1. 从“观看AI”转向“使用AI”: 建议引入动态数学软件（如GeoGebra的AI插件）或简单的AI对话工具，让学生自己输入参数，观察椭圆形状的变化，而非仅观看录制好的视频。
  2. 引入数据反馈: 在“牛刀小试”环节（PDF第3页），建议使用采集设备（如答题器或手机拍照上传），实时统计全班对三种轨迹情况的判断正确率，实现精准教学。
  3. 强化方程推导的脚手架: 对于繁琐的代数运算，可以展示如何利用计算工具辅助验证，释放学生的计算负担，专注于代数变形的逻辑理解。

人类专家评分

（此部分留空，将来人类专家修改）